José Córdoba abrió el marcador en Carrow Road después de solo 63 segundos, su primer gol para los canarios.
Pero Zian Flemming igualó con un gol brillante justo después de llegar como sustituto a mitad de la segunda mitad.
Y el ordenado final de Brownhill consignó a Norwich a solo su segunda derrota en 25 partidos en casa.
Burnley, ahora invicto en ocho partidos, llegó a East Anglia con un excelente récord defensivo, habiendo concedido solo siete goles en la liga esta temporada.
Pero tuvieron grandes problemas en la parte trasera en las etapas de apertura en Carrow Road.
En primer lugar, el defensor de Panamá, Córdoba, no fue desafiado para dirigir a la esquina derecha de Marcelino Núñez.
Luego, mientras la defensa de los Clarets seguía pareciendo inusualmente nereta, el portero James Trafford tuvo que correr para evitar que el forward de CJ Egan-Riley terminara en su propia red.
Siguieron más problemas para el entrenador del Burnley, Scott Parker, justo antes de la marca de un cuarto de hora, cuando el defensa central Maxime Esteve se lesionó y tuvo que ser reemplazado por John Egan.
Parker tuvo que hacer otro cambio, esta vez en ataque, solo un par de minutos en la segunda mitad, cuando Jeremy Sarmiento fue sacado después de aterrizar torpemente después de un fuerte desafío de Callum Doyle.
Su reemplazo, Josh Laurent, tuvo inmediatamente una vista de gol en el lado derecho del área penal, pero fue negado por el tackle de rescate de Shane Duffy.
Luca Koleosho tuvo un esfuerzo salvado por el portero de Norwich, Angus Gunn, cuando Burnley amenazó, pero lucharon por crear oportunidades claras y se habrían quedado más atrás si Trafford no hubiera producido una buena doble parada para mantener fuera el cabezazo de Doyle y el golpe de seguimiento de Borja Sainz.
Demostraron ser paradas cruciales, porque poco después los visitantes nivelaron de manera espectacular.
Josh Cullen tomó un tiro libre rápido, empujando el balón a Flemming a 35 yardas de la portería, y el holandés tomó un toque antes de golpear un imparable golpe con el pie derecho en la esquina superior de la red.
Y cuando Hannibal Mejbri flotó en un balón desde la derecha, el defensor de Norwich, Kellen Fisher, trató de frustrar a Jaidon Anthony, pero inadvertidamente dirigió el balón hacia Brownhill, que disparó más allá de Gunn.
Desde una posición casi idéntica cerca del borde derecho del área de seis yardas, Emiliano Marcondes perdió una oportunidad de tiempo de descanso para nivelar para Norwich cuando disparó en ancho.
Norwich sigue siendo el 12o y ahora no tiene una victoria en tres partidos. Están fuera a Sunderland el sábado, mientras que Burnley está en casa en Watford.
Vía BBC SPORT
